[부록] 리밸런싱의 수익성 조건 ①

---

 

리밸런싱을 할 때가 반드시 더 이익을 만드는 조건은 다음과 같은 과정을 통해 도출할 수 있다.

 

우선 리밸런싱의 수익성 조건 ①의 내용을 정리해보면 다음과 같다.

$t_0$시점에 평가금액을 $M_0$, 리밸런싱시점 $t_1$의 평가금액을 $M_1$, 정산시점 $t_2$에서 리밸런싱을 하지 않은 경우 평가금액 $M_2$, 리밸런싱을 한 경우의 평가금액 $M_2^r$은 각각 다음과 같다.$$M_0 = P_xQ_x + P_yQ_y$$ $$M_1 = (1+\alpha_1)P_xQ_x + (1+\beta_1)P_yQ_y$$ $$M_2 = (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y$$

$$M_2^r = (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x^r + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y^r$$

$P_x, Q_x$는 자산 $x$의 가격과 매수량, $P_y, Q_y$는 자산 $y$의 가격과 매수량, $\alpha_1, \alpha_2$는 각각 $t_1$시점과 $t_2$시점에 자산 $x$의 가격 변화율, $\beta_1, \beta_2$는 각각 $t_1$시점과 $t_2$시점에 자산 $y$의 가격 변화율, $Q_x^r$은 자산 $x$를 리밸런싱을 한 뒤의 매수량, $Q_y^r$은 자산 $y$를 리밸런싱 한 뒤의 매수량이다.

 

$t_0$시점 자산 $x$와 자산 $y$의 투자비중을 각각 $R_x, R_y$라고 할 때 다음이 성립한다. $$R_x = \frac {P_xQ_x}{M_0} = \frac{(1+\alpha_1)P_xQ_x^r}{M_1}$$ $$R_y = \frac{P_yQ_y}{M_0} = \frac{(1+\beta_1)P_yQ_y^r}{M_1}$$ $$R_x + R_y = 1$$

 

보고 싶은 결과는 $M_2^r$에서 $M_2$를 뺀 값을 0보다 크게 만들어주는 조건이다.

$$ M_2^r - M_2 > 0$$ 

$ M_2^r - M_2$

 

$= (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x^r + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y^r - \{(1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y\}$

 

$ = (1+\alpha_2)R_xM_1 + (1+\beta_2)R_yM_1 - \{(1+\alpha_1)(1+\alpha_2)R_xM_0 + (1+\beta_1)(1+\beta_2)R_yM_0 \}$

 

$ =  (1+\alpha_2)R_x\{M_1 - (1+\alpha_1)M_0\} + (1+\beta_2)R_y\{M_1 - (1+\beta_1)M_0\} $

 

$ = (1+\alpha_2)R_x\{(1+\alpha_1)P_xQ_x + (1+\beta_1)P_yQ_y - (1+\alpha_1)(P_xQ_x + P_yQ_y)\} $

 

    $ + (1+\beta_2)R_y\{(1+\alpha_1)P_xQ_x + (1+\beta_1)P_yQ_y - (1+\beta_1)(P_xQ_x + P_yQ_y)\} $

 

$ = (1 +\alpha_2)R_x(\beta_1 - \alpha_1)P_yQ_y + (1+\beta_2)R_y(\alpha_1 - \beta_1)P_xQ_x $

 

$ = (1+ \alpha_2)R_x(\beta_1 - \alpha_1)P_yQ_y - (1+\beta_2)R_y(\beta_1 - \alpha_1)P_xQ_x $

 

$ = (\beta_1 - \alpha_1)\{(1+\alpha_2)R_xP_yQ_y - (1+\beta_2)R_yP_xQ_x \} $

 

$ = (\beta_1 - \alpha_1)\{(1+\alpha_2)\frac{P_xQ_xP_yQ_y}{M_0} - (1+\beta_2)\frac{P_yQ_yP_xQ_x}{M_0} \} $

 

$ = (\beta_1 - \alpha_1)\frac{P_xQ_xP_yQ_y}{M_0}\{1+\alpha_2 - (1+\beta_2)\} $ 

 

$ = (\beta_1 - \alpha_1)(\alpha_2 - \beta_2)R_xP_yQ_y $

 

$ = -(\beta_1 -\alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2)R_xP_yQ_y $ 

 

$$ \therefore\quad M_2^r - M_2 = -(\beta_1 - \alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2)R_xP_yQ_y$$ 

 

$R_x, P_y, Q_y$는 각각 자산 $x$의 투자비중, 자산 $y$의 가격과 매수량이므로 항상 $R_x, P_y, Q_y > 0$이다.

 

$$ \therefore \quad M_2^r - M_2 > 0 \Longleftrightarrow -(\beta_1 - \alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2) > 0 \qquad \blacksquare $$