[퀀트: 리밸런싱] 리밸런싱의 수익성 구조 ①

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최근 「할 수 있다! 퀀트투자」(강환국 저)을 읽으면서 퀀트투자에 대해 알게 됐다. 

계량을 공부하기도 했고, 기본적분석을 다 배우기엔 게으른 나에겐 제격이라 생각해 읽기 시작했는데 참 쉽게 잘 쓴 책이라 생각된다. 

책의 후기는 나중에 써보기로 하고, 이 책에서 배운 '리밸런싱' 이야기를 해보려고 한다.

한마디로 완전 신세계였는데, 주식가격이 변하다가 원래 가격으로 돌아와도 이익을 낼 수 있다니.

놀라우면서 의문이 들었다. 과연 항상 그런가? 그래서 증명해보기로 했다.

 

우선 이번 포스트에서는 리밸런싱을 하지 않을 때보다 리밸런싱을 할 때 반드시 수익이 나는지 증명해보려 한다. 증명을 하기 위한 모형은 굉장히 단순하다. 우선 보이고자 하는 건 리밸런싱을 하지 않았을 때의 평가금액과 리밸런싱을 했을 때의 평가금액을 비교해보면 된다. 이를 위해 다음과 같은 모형을 가정한다. (모형은 간단한데 증명 과정에 변수가 너무 많이 튀어 나온다.)

 

• 두 개의 자산에 투자한다.
• 리밸런싱은 한 번 진행하고, 정산시점에 모두 매각한다.
• 자산의 가격은 주어진 것으로 가정한다.
• 자산 가격은 매 시점마다 변할 수 있다. (오를 수도, 내릴수도, 변하지 않았을 수도 있다.)

 

1. 리밸런싱을 하지 않았을 때

우선 리밸런싱을 하지 않은 상황을 보자. 

 

처음 자산을 매입하는 시점을 $t_0$, 리밸런싱 하는 시점을 $t_1$, 마지막 정산하는 시점을 $t_2$라고 하자.

$t_0$시점에 자산 $x$의 가격은 $P_x$, 매수량은 $Q_x$, 자산 $y$의 가격은 $P_y$, 매수량은 $Q_y$라고 하자.

그렇다면 총 매입금액 즉 $t_0$시점의 평가금액 $M_0$은 다음과 같다.$$M_0 = P_xQ_x + P_yQ_y$$

마찬가지로 $t_1$ 시점의 평가금액은 $M_1$라고 하자. 단 $t_1$ 시점의 자산 $x$의 가격 변화율은 $\alpha_1$, 자산 $y$의 가격 변화율은 $\beta_1$라고 하자. 즉 $t_1$ 시점의 자산 $x$의 가격은 $(1+\alpha_1)P_x$, 자산 $y$의 가격은 $(1+\beta_1)P_y$이다. 리밸런싱을 하지 않았으니 자산 $x$과 자산 $y$의 매수량 $Q_x$와  $Q_y$는 변하지 않는다. 따라서 다음이 성립한다. $$M_1 = (1+\alpha_1)P_xQ_x + (1+\beta_1)P_yQ_y$$

 

시간이 흐르면서 다시 또 자산의 가격이 변할테니, $t_2$시점에 자산 $x$의 가격 변화율은 $\alpha_2$, 자산 $y$의 가격 변화율은 $\beta_2$라고 하고 평가금액을 $M_2$라고 하자.  그러면 리밸런싱을 하지 않은 평가금액 $M_2$는 다음과 같다. $$M_2 = (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y$$

 

2. 리밸런싱을 했을 때

이제 리밸런싱을 했을 때의 상황을 봐보자. 분석의 편의를 위해 우선 거래비용은 없다고 가정한다.

리밸런싱을 한 뒤에도 $t_0$시점의 자산배분비율을 유지해야 하니, 리밸런싱을 하는 $t_1$시점에 $Q_x$, $Q_y$를 적절히 조절해주면 된다. $t_1$시점에 리밸런싱을 한 뒤 자산 $x$의 매입량은 $Q_x^r$, 자산 $y$의 매입량은 $Q_y^r$이라고 하자. 거래비용은 없다고 가정했으니 평가금액은 변하지 않는다. 따라서 다음이 성립한다. $$ M_1 = (1+\alpha_1)P_xQ_x^r + (1+\beta_1)P_yQ_y^r$$

한편 리밸런싱을 했으니 $t_0$시점과 $t_1$시점의 자산배분비율은 동일해야 한다. 자산 $x$에 투자한 비율을 $R_x$, 자산 $y$에 투자한 비율을 $R_y$라고 하면 다음이 성립한다. $$R_x = \frac{P_xQ_x}{M_0} = \frac{(1+\alpha_1)P_xQ_x^r}{M_1}$$ $$R_y = \frac{P_yQ_y}{M_0} = \frac{(1+\beta_1)P_yQ_y^r}{M_1}$$ $$R_x + R_y = 1$$

 

자산 $x$와 자산 $y$의 가격 변화율은 위의 상황과 같다고 해보자. 정산시점 $t_2$에 리밸런싱을 한 평가금액을 $M_2^r$이라고 하면, 다음이 성립한다. $$M_2^r = (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)P_xQ_x^r + (1+\beta_1)(1+\beta_2)P_yQ_y^r$$

 

 

3. 리밸런싱이 BEST가 되기 위한 조건

굉장히 오래 걸렸다. 앞서 말한 대로 리밸런싱을 했을 때의 평가금액 $M_2^r$과 $M_2$를 비교해보면 된다. 따라서 $M_2^r$에서 $M_2$를 뺀 값이 항상 양수인지 확인해보면 된다. 결론적으로 다음이 성립하면 리밸런싱을 하는 게 안하는 것 보다 낫다. (구체적인 증명 과정은 [부록]을 참조)

$$  -(\beta_1 - \alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2)R_xP_yQ_y > 0$$

$R_xP_yQ_y$는 항상 양수이니, $(\beta_1 - \alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2)$가 음수이면 항상 수익이 난다. 그냥 식을 바라보면 잘 와닿지 않는다. 이 식을 적용해 볼 다양한 상황이 있겠지만 그 중 다음과 같은 상황이 있다고 해보자. 

 

• 두 자산의 가격은 항상 같은 방향으로 움직인다.
• 두 자산 중 한 자산은 다른 자산에 비해 변동성이 크다.

 

이 때, 상승장에서 리밸런싱을 하고 하락장에서 정산을 한다고 해보자. 예를 들어 자산 $y$가 리밸런싱을 하는 시점에 가격이 20% 상승하고, 자산 $x$는 10% 상승했다. 정산하는 시점에는 자산 $y$가 20% 하락하고 자산 $x$는 10% 하락했다. 즉 $\beta_1 = 0.2, \alpha_1 = 0.1, \beta_2 = -0.2, \alpha_2 = -0.1$이고 이 값들을 대입해보면 $(\beta_1-\alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2)$가 음수이므로 리밸런싱을 한 평가금액은 하지 않았을 때 보다 반드시 더 크다. 이는 하락장에서 리밸런싱을 하고 상승장에서 정산해도 마찬가지이다. 아무튼 위의 조건을 만족하면, 리밸런싱을 하지 않을 때보다 리밸런싱을 할 때 더 수익이 나거나, 덜 손해를 입는다. 

 

 

4. 투자전략으로 응용해보면?

도출한 식의 함의를 생각해보자. $(\beta_1 - \alpha_1)(\beta_2 - \alpha_2) < 0 $을 만족하면 반드시 리밸런싱을 하는 게 더 낫다. 바꿔 말해 이 조건을 만족하지 않는다면 리밸런싱은 하지 않는 편이 낫다. 이를 두 가지 의미로 확장해볼 수 있다.

 

첫번째로 위에서 다루었던 사례처럼 조건을 만족하는 자산을 찾으면 된다. 앞선 방법처럼 두 자산의 가격이 항상 같은 방향으로 움직이고, 두 자산 중 한 자산은 다른 자산에 비해 변동성이 큰 자산에 투자한 뒤 적절한 시점에 리밸런싱을 하면 하지 않았을 때 보다는 반드시 이익이다. 마찬가지로 두 자산의 가격이 항상 반대 방향으로 움직이는 경우도 생각해볼 수 있다. 이 경우 상승장에서 리밸런싱한 뒤 하락장에서 정산하면(또는 반대로 하거나) 하지 않았을 때 보다 반드시 더 낫다.

 

두번째로 리밸런싱 여부를 결정해볼 수 있다. 실제 리밸런싱을 하는 시점인 $t_1$에는 $\beta_1 - \alpha_1$은 이미 알려져 있다. 그렇다면 식의 부호를 결정하는 것은 $\beta_2 - \alpha_2$이다. 이는 당연히 $t_1$시점에서는 알 수 없는 정보이므로 이 값에 대해 예측을 해야 한다. 예를 들어 리밸런싱을 한 시점에 $\beta_1 - \alpha_1 > 0$이라고 해보자. 이 때 $\beta_2 - \alpha_2 < 0$이라고 기대한다면 리밸런싱을 하는 게 낫고, 그렇지 않는다면 리밸런싱을 하지 않고 정산하는 것이 더 낫다.

 

 

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못 다룬 이야기

분명히 퀀트투자 전략의 아이디어를 제공해주기는 하지만 매우 간단한 모형이기 때문에 한계가 많다. 혹시라도 오해할 부분이 생길까 우려스러워 이 부분에 미리 밝혀둔다. 아래에서 밝힐 부분은 추후에 모형을 확장하면서 다룰 예정이다. 

 

1.  거래비용이 없다고 가정했다. 거래비용이 추가되었을 때에는 어떤 조건이 필요할까?
2.  도출한 결과는 리밸런싱을 했을 때와 하지 않았을 때를 비교한 결과다. 앞서 밝혔듯이 리밸런싱을 하면 하지 않았을 때보다 더 수익이 생긴다는 의미이다. 
3.  마찬가지로, 최종 결과 $M_2^r - M_2$가 양수라고 해서 초과수익률이 발생한다는 것은 아니다. 수익률은 예금금리보다 낮을 수도 있다.
4.  포트폴리오 이론에서 자주 나오는 리스크, 체계적 위험, 뭐 이런 이야기는 전혀 없어서 의아할 수 있는데 그 이유는 사실 단순하다. 위의 과정은 어떤 조건을 찾고자 하는 과정이었으니 $t_2$시점이 되어서야 알 수 있는 정도도 모두 안다고 암묵적으로 가정하고 전개해서 그렇다. 애초에 목적이 무언가를 증명하고자 하는 것이었으니 굳이 $\beta_1, \beta_2, \alpha_1, \alpha_2$를 통계적으로 접근할 필요는 없었다. 물론 이후 모형을 발전시켜서 $t_0$시점의 정보만 가지고 적절한 투자 전략을 짜기 위해 분석한다면 당연히 리스크나 체계적 위험 등의 이야기도 (필요하다면) 다룰 것이다.
5.  자산의 가지수로 설정한 게 고작 2개다. 자산의 개수를 여러 개로 확장한다면 조건은 어떻게 달라질 것인가?(이 부분은 가장 마지막에 다룰 예정이다.)
6.  리밸런싱 투자전략은 항상 수익이 날까? 즉 $M_2^r - M_0$의 값을 항상 양수로 만드는 조건은 무엇일까?
7.  리밸런싱 투자전략은 항상 초과수익률을 달성할 수 있을까?
8.  수익률을 극대화하는 자산 비중은 어떻게 구할 수 있을까?
9.  리밸런싱 시점에 한 자산을 완전히 매각하고 다른 자산으로 대체하는 경우는 어떻게 될 것인가?