[퀀트: 리밸런싱] 리밸런싱의 수익성 구조 ②

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0. 들어가며

이번에도 리밸런싱의 수익성 구조를 분석해보려고 한다.

저번 포스팅이 리밸런싱을 하는 게 더 나은 조건을 찾는 게 목적이었다면, 이번 포스팅은 리밸런싱을 하는 포트폴리오의 수익성 구조를 보이는 게 목적이다. 말로 설명하면 확 와닿지 않지만 식은 간단하다. 저번에 본 조건이 $M_2^r - M_2$이었다면 이번에는 $M_2^r - M_0$을 분석해보려 한다. (Notation은 리밸런싱의 수익성 조건 ①을 참조)

저번과 동일한 표기방식을 쓰되, 의미를 조금 명확하게 하고자 몇 가지가 추가되었다. 

 

1. 포트폴리오 성장률

 

우선 포트폴리오 성장률 $g_s$를 넣어서 표기할건데, 1기의 성장률을 $g_1$, 2기의 성장률을 $g_2$로 표기하겠다.

그렇다면 $t_1$기의 포트폴리오 평가금액 $M_1$은 $(1+g_1)M_0$이고, $t_2$기의 포트폴리오 평가금액 $M_2$는 $(1+g_2)M_1 = (1+g_1)(1+g_2)M_0$이다. 리밸런싱을 한 경우 2기의 성장률은 $g_2^r$이라고 하면 $M_2^r = (1+g_2^r)M_1^r$이다.  

 

먼저 $g_1$이 어떻게 생겼는지 보도록 하자.

 

$M_1 = (1+\alpha_1)P_xQ_x + (1+\beta_1)P_yQ_y$이다. 한편 $P_xQ_x = R_xM_0$이고 $P_yQ_y = R_yM_0$이므로, 이를 $M_0$을 기준으로 다시 정리하면 다음과 같다.

$$M_1 = (1+\alpha_1)R_xM_0 + (1+\beta_1)R_yM_0$$

$$ \quad = (R_x + R_y)M_0 + (\alpha_1R_x + \beta_1R_y)M_0 $$

$$ = M_0 + (\alpha_1R_x + \beta_1R_y)M_0$$

한편 $M_1 = (1+g_1)M_0$이므로, $M_1 = M_0 + g_1M_0$이다. 따라서 성장률 $g_1$은 다음과 같다. 

$$g_1 = \alpha_1R_x + \beta_1R_y$$

 

마찬가지로 $g_2^r$을 구해보자. $M_2^r = (1+\alpha_2)(1+\alpha_1)P_xQ_y^r + (1+\beta_2)(1+\beta_1)P_yQ_y^r$이고 리밸런싱은 $t_0$기와 $t_1$기의 자산배분비율을 일치시키는 것이므로, 

$$M_2^r = (1+\alpha_2)(1+\alpha_1)P_xQ_y^r + (1+\beta_2)(1+\beta_1)P_yQ_y^r $$

$$ = (1+\alpha_2)R_xM_1^r + (1 + \beta_2)R_yM_1^r \qquad        \qquad $$

$$ = (R_x + R_y)M_1^r + (\alpha_2R_x + \beta_2R_y)M_1^r \qquad $$

$$ = M_1^r + (\alpha_2R_x +\beta_2R)M_1^r \qquad \qquad \qquad $$

앞에서 봤던대로 $M_2^r = (1+g_2^r)M_1^r$이므로 $M_2^r = M_1^r + g_2^rM_1^r$이다. 따라서 성장률 $g_2^r$은 다음과 같다.

$$ g_2^r = \alpha_2R_x + \beta_2R_y $$

 

 

2. 수익성 구조

앞서 밝힌 것처럼 구하고 싶은 값이 $M_2^r - M_0$인데 바로 구하기는 생각보다 조금 번거롭다. $M_1^r$을 더하고 빼도 결과는 같으니 이를 이용해서 구해보자. 즉 $M_2^r - M_0 = M_2^r - M_1^r + M_1^r + M_0$을 이용해서 구해보자.

우선 앞부분인 $ M_2^r - M_1^r $은 $M_2^r =(1 + g_2^r)M_1^r$ 이므로 $M_2^r - M_1^r = g_2^rM_1^r$이다.

뒷부분인 $M_1^r - M_0$의 경우엔 $M_1^r = M_1 = (1 + g_1)M_0$이므로 $M_1^r - M_0 = g_1M_0$이다. 따라서

$$ M_2^r - M_0 = g_2^rM_1^r + g_1M_0$$

이 성립한다. 한편 $M_1^r = M_1 = (1 + g_1)M_0$이므로 아래 식이 성립한다.

$$M_2^r - M_0 = g_2^r(1+g_1)M_0 + g_1M_0$$

좌변의 $M_0$을 이항하여 $M_2^r$을 $M_0$를 기준으로 정리하면 다음과 같다.

$$ M_2^r = M_0 + g_1M_0 + g_2^rM_0 + g_1g_2^rM_0$$

$$ = (1 + g_1)(1 + g_2^r)M_0  \qquad $$

 

따라서 리밸런싱을 한 포트폴리오 $M_2^r$이 더 수익이 나려면 다음 조건을 만족해야 한다.

$$ \therefore (1+g_1)(1+g_2^r) > 1$$